Stephane Breuils
Assistant professor
Réflexions et Rotations Digitales Bijectives avec l'Algèbre Géométrique
Stéphane Breuils, Yukiko Kenmochi, Akihiro Sugimoto
Pourquoi l'algèbre géométrique?
Réflexions
\( {\color{green}\mathbf{y}} = -{\color{blue}\mathbf{m}} {\color{red}\mathbf{x}} {\color{blue}\mathbf{m}^{-1}} \)
Pourquoi l'algèbre géométrique?
Pourquoi l'algèbre géometrique?
Réflexions vers rotations
\( {\color{green}\mathbf{y}} = \mathbf{Q} {\color{red}\mathbf{x}} \mathbf{Q}^{-1} \)
\( \mathbf{Q} = \color{blue}\mathbf{m}\mathbf{n} \)
Pourquoi l'algèbre géométrique?
Réflexions, rotations
\( \mathbf{Q} = \color{blue}\mathbf{m}\mathbf{n} = \cos{\frac{\theta}{2}} + \sin{\frac{\theta}{2}} \mathbf{e}_{12} \)
\( \bullet \) définies quelque soit la dimension
\( \bullet \) génériques et faciles à manipuler
Produit de \(\mathbf{m} \mathbf{n} \), rotation de \( \mathbf{x} \) :
\( \mathbf{y} = \mathbf{Q} \mathbf{x} \mathbf{Q}^{-1} \)
Méthode proposée
Nouvelles rotations digitales bijectives à partir de réflexions
\( \hookrightarrow \) trouver les réflexions digitales bijectives
\( \hookrightarrow \) réflexions digitales bijectives \( \rightarrow \) rotations digitales bijectives
\( \hookrightarrow \) quelques résultats expérimentaux
Opérateurs
Réflexions digitales
\( \bullet \) Réflexions \( \mathcal{U}^{m} \)
\( \bullet \) Opérateur digital \( \mathcal{D} \)
\left|
\begin{array}{cccc}
\mathcal{D} : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{Z}^2 \\
& u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 & \mapsto & \lfloor u_1 + \frac{1}{2} \rfloor \mathbf{e}_1 + \lfloor u_2 + \frac{1}{2} \rfloor \mathbf{e}_2
\end{array}
\right.
\left|
\begin{array}{cccc}
\mathcal{R}^{\mathbf{m}} : & \mathbb{Z}^2 & \rightarrow & \mathbb{Z}^2 \\
& \mathbf{x} & \mapsto & \mathcal{D} \circ \mathcal{U}^{ \mathbf{m} } (\mathbf{x})
\end{array}
\right.
\( \bullet \) Réflexions digitales \( \mathcal{R}^{\mathbf{m}}\)
\left|
\begin{array}{cccc}
\mathcal{U}^{ \mathbf{m} } : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\
& \mathbf{x} & \mapsto & -\mathbf{m} \mathbf{x} \mathbf{m}^{-1} = -\frac{1}{\Vert \mathbf{m} \Vert^2}\mathbf{m} \mathbf{x} \mathbf{m}.
\end{array}
\right.
Trouver les reflexions digitales bijectives
\( \bullet \) Idée: s'appuyer sur la condition de bijectivité des rotations digitales (Jacob, Andres, Nouvel, Rémila, Roussillon, Coeurjolly ...)
\begin{array}{cl}
\{\cos(\theta),\sin(\theta)\} = \Big\{ \frac{2k+1}{2k^2 + 2k+1}, \frac{2k(k+1)}{2k^2 + 2k+1} \Big\}, k\in \mathbb{N}
\end{array}
\( \bullet \) Algèbre géométrique, rotation d'angle \(\theta\) d' un objet \(\mathbf{x}\):
\mathbf{x}'= \mathbf{Q} \mathbf{x} \mathbf{Q}^{-1}
\mathbf{Q} = \cos{\frac{\theta}{2}} + \sin{\frac{\theta}{2}} \mathbf{e}_{12}
\mathbf{Q} = (k+1) + k \mathbf{e}_{12}, \quad k \in \mathbb{N}.
Trouver les réflexions digitales bijectives
\( \bullet \) Idée
\( \mathbf{m}_b \) : réflexions digitales bijectives
\(\Leftrightarrow \) \(-\mathbf{e}_1 \mathbf{m}_b \mathbf{e}_1^{-1}\) est aussi une reflexion digitale bijective
\(\Leftrightarrow \) \(-\mathbf{e}_1 (a \mathbf{e}_1 + b \mathbf{e}_1) \mathbf{e}_1^{-1} \) est aussi une reflexion digitale bijective
\( \bullet \) Insérer dans la definition des reflexions digitales
\(\Leftrightarrow \mathbf{e}_1 \mathbf{m}_b \mathbf{e}_1^{-1} \mathbf{x} \mathbf{e}_1 \mathbf{m}_b^{-1} \mathbf{e}_1^{-1} \)
\(\Leftrightarrow (\mathbf{e}_1 \mathbf{m}_b) (\mathbf{e}_1^{-1} \mathbf{x} \mathbf{e}_1) (\mathbf{e}_1 \mathbf{m}_b) ^{-1} \)
reflexion de \(\mathbf{x} \) par rapport a l'axe \( \mathbf{e}_2\)
Réflexions digitales bijectives
\(\Leftrightarrow (\mathbf{e}_1 \mathbf{m}_b) (\mathbf{e}_1^{-1} \mathbf{x} \mathbf{e}_1) (\mathbf{e}_1 \mathbf{m}_b) ^{-1} \)
\( \bullet \) \( \mathbf{e}_1 \mathbf{m}_b \)?
\( \mathbf{e}_1 (a \mathbf{e}_1 + b \mathbf{e}_2) = a + b \mathbf{e}_{12}\)
\( \rightarrow \)homogène à l'entité effectuant la rotation en algèbre géométrique
\( \bullet \) \( a,b \) ?
\mathbf{Q} = \cos{\frac{\theta}{2}} + \sin{\frac{\theta}{2}} \mathbf{e}_{12} = (k+1) + k\mathbf{e}_{12}, \quad k \in \mathbb{N}.
\( \mathbf{m}_b = (k+1) \mathbf{e}_1 + k \mathbf{e}_2, k\in \mathbb{N} \)
Distribution angulaire des réflexions digitales bijectives
Distribution des réflexions digitales bijectives
réflexions digitales bijective
rotations digitales bijectives
\begin{array}{cl}
\{\cos(\theta),\sin(\theta)\} = \Big\{ \frac{2k+1}{2k^2 + 2k+1}, \frac{2k(k+1)}{2k^2 + 2k+1} \Big\}
\end{array}
\( \mathbf{m} = -(k+1) \mathbf{e}_1 + k \mathbf{e}_2, k\in \mathbb{N} \)
Approximation de rotations à partir de réflexions digitales bijectives
Approximations pour les réflexions
Entrée : réflexion non nécessairement bijective
Problème : trouver la plus "proche" réflexion bijective
Approximation
Bijectivite et approximations
Réflexion digitale \( \mathbf{m} \)
Approximation bijective \( \widetilde{\mathbf{m}} \)
\displaystyle \argmin_{k}
\Big\vert \widetilde{\theta} - \theta
\Big\vert
Approximations pour les rotations digitales
Rotations digitales bijective à partir de réflexions
\( \bullet \)Composition d'une reflexion digitale (axe \( \mathbf{e}_{1} \)) et d'une reflexion digitale bijective
\(\rightarrow \)rotation digitale bijective
\( \bullet \)Composition de 2 réflexions digitales bijectives
\( \rightarrow \) approximation bijective d'une rotation digitale
Rotations digitales bijective à partir de reflexions
Idée:
\( \hookrightarrow \) Approximer une rotation Euclidienne d'angle \( \theta\) à partir de 2 réflexions bijectives
Comment choisir les 2 réflexions digitales?
Rotations digitales bijectives à partir de réflexions
Comment choisir les 2 réflexions digitales?
\( \bullet \) Contrainte: angle entre les 2 vecteur normaux est \( \frac{\theta}{2} \)
où \( \theta\) est l'angle de rotation
Rotations digitales bijective à partir de réflexions
Méthode
\( \bullet \) Etant donné \( k_{\max} \) et \(\mathbf{B}_{k_{\max}} \) (reflexions bijectives)
\( \bullet \) Boucler sur les réflexions digitales bijectives \( \mathbf{m}_{1} \in \mathbf{B}_{k_{\max}} \)
\( \bullet \) Chercher \( \mathbf{m}_{2} \) tel que l'angle entre \(\mathbf{m}_{1} \) et \(\mathbf{m}_{2} \) soit le demi angle de rotation.
\( \bullet \) Retourner le couple \( \mathbf{m}_{1},\mathbf{m}_{2} \) dont l'angle relatif est le plus proche de \( \frac{\theta}{2} \)
Distribution obtenue
Réflexions digitales bijectives
Rotations digitales bijectives
Rotations digitales bijectives par 2 réflexions digitales bijectives
\begin{array}{cl}
\{\cos(\theta),\sin(\theta)\} = \Big\{ \frac{2k+1}{2k^2 + 2k+1}, \frac{2k(k+1)}{2k^2 + 2k+1} \Big\}
\end{array}
\mathbf{m} = -(k+1) \mathbf{e}_1 + k \mathbf{e}_2, k\in \mathbb{N}
Conclusion
Nouvelles rotations digitales bijectives à partir de réflexions digitales bijectives
\( \hookrightarrow \) plus de rotations digitales bijectives
\( \hookrightarrow \) méthode simple
\( \hookrightarrow \) peut etre étendue ...
Perspective
\( \hookrightarrow \) comparaison des principales méthodes de rotations bijectives
quasi-shears, FFT, rotations à partir de reflexions bijectives à droites digitales (Andres), ...
Merci pour votre attention!
Questions?
GDR_DGMM2021_presentation_breuils
By Stephane Breuils
GDR_DGMM2021_presentation_breuils
slides in French about digital reflections and digital rotations with geometric algebra
